Question

设函数，。

（1）当时，求的单调区间；

（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；

（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。

注：为自然对数的底数。

 

Answer 1

【答案】

（1）的减区间是；增区间是 

（2）在上恰有一个使得.

（ⅱ）。

【解析】

试题分析：（1）当时，   1分

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是      3分

（2）（ⅰ）   4分

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增    6分

又因为，

所以在上恰有一个使得.    8分

（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，

，不符题意。       

由（ⅰ）知在递减，递增，

设在上最大值为则，

若对任意的，恒有成立，则，    11分

由得，，

又，。    13

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值，恒成立问题。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为“恒成立问题”往往转化成求函数的最值。