Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=

m

•

n

，当f（B）取最大值

3

2

时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出

m

•

n

，并利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，确定出函数f（x）的解析式，由A的度数，得到B的取值范围，进而确定出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的最大值，进而确定出函数的最大值，以及正弦函数取得最大值时B的度数，由A和B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，可得到三内角相等，可判断出三角形为等边三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜π，…（4分）
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）∵

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，
∴函数f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

 …（7分）
=sin（x+

π

6

）+

1

2

，…9分
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，…（10分）
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

，…（12分）
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
则△ABC为等边三角形．…（14分）

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．