Question

设函数f(x)=

a

3

x3+

1-a

2

x2-x，a∈R．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a≠-1时，求函数f（x）的极小值．

Answer 1

分析：（1）先求当a=-2时函数的导数，令导数小于0，解得x的范围即为函数的减区间．
（2）先求函数的导数，为令导数等于0，求出函数的极值点，极值点把函数的定义域分成几个区间，按a与0，-1的大小比较分情况讨论函数在各区间上的单调性，当在极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0，此极值点处取得极小值，再代入原函数即可．

解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=f(x)=

-2

3

x3+

3

2

x2-x
∴f'（x）=-2x²+3x-1=-（2x-1）（x-1），
令f'（x）＜0，解得x＞1或x＜

1

2

∴f（x）的单调递减区间是（1，+∞），(-∞，

1

2

)．
（2）f'（x）=f（x）=ax²+（1-a）x-1=（ax+1）（x-1）
当a=0时，f'（x）=x-1，当x＜1时，f'（x）＜0．当x＞1时，f'（x）＞0，当x=1时，f'（x）=0
∴f（x）在（-∞，1）内单调递减，（1，+∞）单调递增，f（x）的极小值=f(1)=-

1

2

当a≠0时，令f'（x）=0，解得x1=1，x2=-

1

a

当a＞0时，-

1

a

＜1，列表如下：

x	(-∞，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

f（x）的极小值=f(1)=-

a

6

-

1

2

当-1＜a＜0时，1＜-

1

a

，列表如下：

x	（-∞，1）	1	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减		递增		递减

f（x）的极小值=f(1)=-

a

6

-

1

2

当a＜-1时，列表如下：

x	(-∞，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减		递增		递减

f（x）的极小值=f(-

1

a

)=

1

6a2

+

1

2a

，
所以函数f（x）的极小值=

- a 6 - 1 2 a＞-1 1 6a2 + 1 2a a＜-1

．

点评：本题主要考查利用函数的导数求函数的单调区间，极值，其中含有参数，要对参数进行讨论．