Question

在△ABC中，（1）若A=2B，求证：a²=b(b+c);

（2）a²=b(b+c)，求证：A=2B.

Answer 1

分析：根据问题的条件和结论，对于（1），可将角的关系转化为边的关系进行处理；对于（2），可将边的关系转化为角的关系进行处理.具体可利用sinA=sin2B=2sinBcosB及正余弦R?定理.

证明：（1）∵A=2B,

∴sinA=sin2B=2sinBcosB.

∴a=2bcosB=2b·.

去分母，整理，得a²=b(b+c).

（2）∵a²-b²=bc,

∴sin²A-sin²B=sinBsinC.

∴sin(A-B)sin(A+B)=sinBsinC.

∴sin(A-B)sinC=sinBsinC.

∵sinC≠0,

∴sin(A-B)=sinB.

∵0＜A-B,B＜π,

∴A-B=B.

∴A=2B.