Question

（本小题满分14分）
已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）∵椭圆长轴长为
又∵椭圆过点，代入椭圆方程得
∴椭圆方程为
即                                                                     …………3分
（2）∵直线且斜率为k，
设直线方程为
由
设∵线段AB中点的横坐标是
则
即                             …………7分
（3）假设在x轴上存在点，
使是与k无关的常数，
由
设
则                                 …………9分


是与k无关的常数，设常数为t，
则                                        …………12分
整理得对任意的k恒成立
，解得
即在x轴上存在点，
使是与k无关的常数.                               …………14分