Question

已知(b－c)log_mx＋(c－a)log_my＋(a－b)log_mz＝0，

(1)若a、b、c成等差数列，且公差d≠0，求证：x、y、z成等比数列；

(2)若正数x、y、z成等比数列，且公比q≠1，求证：a、b、c成等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵a、b、c成等差数列，且公差d≠0， 　　∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0， 　　代入已知条件得－d(logmx－2logmy＋logmz)＝0． 　　∵d≠0， 　　∴logmx＋logmz＝2logmy． 　　∴y2＝xz．由于x、y、z均大于0，∴x、y、z成等比数列． 　　(2)∵x、y、z成等比数列，且公比q≠1，x、y、z均大于0，∴＝＝q(q≠1)． 　　两边取对数得logmy－logmx＝logmz－logmy＝logmq≠0， 　　代入已知条件中，可得 　　(b－c)(logmy－logmq)＋(c－a)logmy＋(a－b)(logmy＋logmq)＝0， 　　∴(a－2b＋c)logmq＝0．∴a＋c＝2b． 　　∴a、b、c成等差数列．