Question

4．称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{a_j}{a_i}$两数中至少有一个属于 A．
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）求a_n=30时n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{{a}_{j}}{{a}_{i}}$两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，6}与{1，3，4，12}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）运用反证法，结合A具有性质P，即可得证；
（3）运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n的最大值．

解答 解：（1）由于3×6与$\frac{6}{3}$均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，$\frac{12}{3}$，$\frac{12}{4}$都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，3，4，12} 具有性质P．
（2）证明：设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P．
即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与$\frac{{a}_{j}}{{a}_{i}}$两数中至少有一个属于A．
运用反证法证明．假设存在一个数a_i不是a_n的因数，
即有a_ia_n与$\frac{{a}_{i}}{{a}_{n}}$或$\frac{{a}_{n}}{{a}_{i}}$，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾．
故假设不成立．
则对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）由（2）可知，ai均为an=30的因数，
由于30=2×3×5，
由组合的知识可得2，3，5都有选与不选2种可能．
共有2×2×2=8种，
即有n的最大值为8．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题．