Question

19．设n是一个正整数，定义n个实数a₁，a₂，…，a_n的算术平均值为$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$．设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的α_z的算术平均值为2016．

Answer 1

分析 分别讨论1，2，…，2015为最小值和最大值的集合的个数，再运用等比数列的求和公式求和，最后由集合的非空子集的个数和均值的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：以1为最小值的集合有2²⁰¹⁴个，以2为最小值的集合有2²⁰¹³个，
…，以2015为最小值的有2⁰个，
则所有M的非空子集的最小值的和为1×2²⁰¹⁴+2×2²⁰¹³+…+2015×2⁰；
同理，所有M的非空子集的最大值的和为2015×2²⁰¹⁴+2014×2²⁰¹³+…+1×2⁰．
故所有这样的α_z的和为2016×（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2⁰）=2016×$\frac{1-{2}^{2015}}{1-2}$=2016×（2²⁰¹⁵-1）．
则所有这样的α_z的算术平均值为$\frac{2016×（{2}^{2015}-1）}{{2}^{2015}-1}$=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查n个数的均值的求法，考查集合的子集个数，以及运算能力和推理能力，属于中档题．