Question

已知抛物线x²=4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P₁，又过点P₁作斜率为

1

2

的直线交抛物线于点P₂，再过P₂作斜率为

1

4

的直线交抛物线于点P₃，…，如此继续，一般地，过点P_n作斜率为

1

2n

的直线交抛物线于点P_n+1，设点P_n（x_n，y_n）．
（Ⅰ）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求证：数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较

3

4

Sn+1与

1

3n+10

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点P_n和P_n+1代入抛物线方程，进而可得x_n²=4y_n，x_n+1²=4y_n+1，进而表示出直线的斜率代入后求得xn+1+xn=

1

2n-2

代入b_n=x_2n+1-x_2n-1，求得

bn+1

bn

=

1

4

根据等比数列的定义推断出该数列为等比数列．
（Ⅱ）根据等比数列的求和公式求得S_n，进而可求得

3

4

Sn+1=

1

4n

，问题转化为比较4ⁿ与3n+10的大小，根据二项式定理求得4n＞1+3n+  •

n(n-1)

2

32＞1+3n+9=3n+10，进而看n=1，2时也符合，最后综合原式得证．

解答：解：（Ⅰ）因为P_n（x_n，y_n）、P_n+1（x_n+1，y_n+1）在抛物线上，故x_n²=4y_n，①x_n+1²=4y_n+1②，又因为直线P_nP_n+1的斜率为

1

2n

，即

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1

2

，①②代入可得

1

4

x2n+1-x2n

xn+1-xn

=

1

2n

⇒xn+1+xn=

1

2n-2

∴b_n=x_2n+1-x_2n-1=（x_2n+1+x_2n）-（x_2n+x_2n-1）=

1

22n-2

-

1

22n-3

=-

1

22n-2

，
故

bn+1

bn

=

1

4

⇒{bn}是以-1为首项，以

1

4

为公比的等比数列；
（Ⅱ）Sn=-

4

3

(1-

1

4n

)⇒

3

4

Sn+1=

1

4n

，故只要比较4ⁿ与3n+10的大小．
4n=(1+3)n=1+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n＞1+3n+ 

n(n-1)

2

32＞1+3n+9=3n+10(n≥3)，
当n=1时，

3

4

Sn+1＞

1

3n+10

；
当n=2时

3

4

Sn+1=

1

3n+10

；
当n≥3，n∈N^*时，

3

4

Sn+1＜

1

3n+10

．

点评：本题主要考查了等比关系的确定，不等式的应用，二项式定理，考查了学生综合分析问题的能力．