Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD为菱形．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求异面直线PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）取CD中点O，连OA、OP，根据面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，证明PA⊥CD．
（2）先找出线线角∠PBC是PB和AD所成的角，进而可求；
（3）先找出二面角的平面角：由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，进而可求．

解答：解：（1）证明，取CD中点O，连OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO为PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O为CD中点∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．
（2）∵AD∥BC
∴∠PBC是PB和AD所成的角，
在△PBC中，PC=BC=2
PB=

10

故cos∠PBC=

4+10-4

2•2• 10

=

10

4

故异面直线PB和AD所成角的余弦值为

10

4

．
（3）由O引OG⊥AD于G，连PG，则PG⊥AD，∠PGO为二面角P-AD-C为平面角，
Rt△PGO中，tan∠PGO=

PO

GO

=2，
即二面角P-AD-C的正切值为2．

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及平面与平面垂直的性质和二面角及其度量，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题．