题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有 $数学公式$ （其中λ为实数），椭圆C的离心率e=

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：在焦点△F₁PF₂中，设P（x₀，y₀），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为 $\text{[math]}$ ，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率
解答：设P（x₀，y₀），∵G为△F₁PF₂的重心，
∴G点坐标为 G（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ ，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •|F₁F₂|•|y₀|
又∵I为△F₁PF₂的内心，∴I的纵坐标 $\text{[math]}$ 即为内切圆半径，
内心I把△F₁PF₂分为三个底分别为△F₁PF₂的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）| $\text{[math]}$ |
∴ $\text{[math]}$ •|F₁F₂|•|y₀|= $\text{[math]}$ （|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）| $\text{[math]}$ |
即 $\text{[math]}$ ×2c•|y₀|= $\text{[math]}$ （2a+2c）| $\text{[math]}$ |，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选A
点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法