题目内容
16.数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1(n∈N*)(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)若${c_n}={({\frac{1}{2}})^n}-{a_n}$,dn=$\sqrt{1+\frac{1}{{{c_n}^2}}+\frac{1}{{{c_{n+1}}^2}}}$,P=d1+d2+d3+…+d2015,求不超过P的最大整数的值.
分析 (1)需要分类讨论:n=1和n≥2两种情况.当n≥2时,根据已知条件易求得2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=a n-1+n-1,依此可以求得{bn}的首项和公比;
(2)根据(1)的解题过程可以得到:an=($\frac{1}{2}$)n-n,则${c_n}={({\frac{1}{2}})^n}-{a_n}$=c,然后对dn进行化简,进而求得P=2014-$\frac{1}{2014}$.
解答 解:(1)因为Sn+an=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1(n∈N*)
所以①当n=1时,2a1=-1,则a1=-$\frac{1}{2}$;
②当n≥2时,Sn-1+an-1=-$\frac{1}{2}$(n-1)2-$\frac{3}{2}$(n-1)+1,
所以2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=a n-1+n-1,
所以bn=$\frac{1}{2}$b n-1(n≥2),
而b1=a1+1=$\frac{1}{2}$所以数列数列{bn}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,所以bn=($\frac{1}{2}$)n
(2)由(1)知an=(-$\frac{1}{2}$)n-n,
∴cn=n,
而dn=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}(n+1)^{2}}}$=$\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
所以P=(1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$)+(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+(1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+(1+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$)=2014-$\frac{1}{2015}$,
故不超过P的最大整数为2013.
点评 本题考查了等比数列的性质.解答(1)题时要分类讨论,解答(2)题时利用了裂项法.
| A. | -$\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{4}{3}$ | D. | -$\frac{4}{3}$ |
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
| 非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
| 男 | |||
| 女 | |||
| 总计 |
附:K2=$\frac{{n{{({bc-ad})}^2}}}{{({a+b})({c+d})({a+c})({b+d})}}$
| P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
| k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
在旋转过程中(不包括起始位置和终止位置),有可能正确的是( )
| A. | AB∥CD | B. | AB⊥CD | C. | AD⊥BC | D. | AC⊥BD |
| A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |