题目内容

16.数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1(n∈N*)
(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)若${c_n}={({\frac{1}{2}})^n}-{a_n}$,dn=$\sqrt{1+\frac{1}{{{c_n}^2}}+\frac{1}{{{c_{n+1}}^2}}}$,P=d1+d2+d3+…+d2015,求不超过P的最大整数的值.

分析 (1)需要分类讨论:n=1和n≥2两种情况.当n≥2时,根据已知条件易求得2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=a n-1+n-1,依此可以求得{bn}的首项和公比;
(2)根据(1)的解题过程可以得到:an=($\frac{1}{2}$)n-n,则${c_n}={({\frac{1}{2}})^n}-{a_n}$=c,然后对dn进行化简,进而求得P=2014-$\frac{1}{2014}$.

解答 解:(1)因为Sn+an=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1(n∈N*)
所以①当n=1时,2a1=-1,则a1=-$\frac{1}{2}$;
②当n≥2时,Sn-1+an-1=-$\frac{1}{2}$(n-1)2-$\frac{3}{2}$(n-1)+1,
所以2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=a n-1+n-1,
所以bn=$\frac{1}{2}$b n-1(n≥2),
而b1=a1+1=$\frac{1}{2}$所以数列数列{bn}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,所以bn=($\frac{1}{2}$)n
(2)由(1)知an=(-$\frac{1}{2}$)n-n,
∴cn=n,
而dn=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}(n+1)^{2}}}$=$\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n(n+1)}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
所以P=(1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$)+(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+(1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+(1+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$)=2014-$\frac{1}{2015}$,
故不超过P的最大整数为2013.

点评 本题考查了等比数列的性质.解答(1)题时要分类讨论,解答(2)题时利用了裂项法.

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