Question

17．已知焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0）的椭圆过点P（$\sqrt{2}$，1），A是直线PF₁与椭圆的另一个交点，则三角形PAF₂的周长是（　　）

• A． .6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由题意可知：焦点在x轴上，c=$\sqrt{2}$，则设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-2}=1$（a＞$\sqrt{2}$），将P（$\sqrt{2}$，1），代入可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}-2}=1$，解得：a²=4，椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，则三角形PAF₂的周长l=丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨AF₁丨+丨AF₂丨=4a=8．

解答 解：由题意可知：焦点在x轴上，c=$\sqrt{2}$，则设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-2}=1$（a＞$\sqrt{2}$），
将P（$\sqrt{2}$，1），代入可得：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}-2}=1$，解得：a²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a，
∴三角形PAF₂的周长l=丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨AF₁丨+丨AF₂丨=4a=8
∴三角形PAF₂的周长4a=8，
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查焦点三角形的周长公式，属于基础题．