Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1

3

．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上遇到红灯个数X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯是指事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，从而可求概率；
（II）确定变量的取值，根据独立重复试验的概率模型求出相应的概率，即可求X的分布列及期望．

解答：解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
所以事件A的概率为P（A）=（1-

1

3

）×（1-

1

3

）×

1

3

=

4

27

．…（5分）
（Ⅱ）由题意，可得X可能取的值为0，1，2，3，4．
∴P(X=k)=

C

k 4

(

1

3

)k(

2

3

)4-k（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 81	8 81	1 81

…（10分）
∴X的期望是EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

8

27

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．…（13分）

点评：本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率，离散型随机变量的期望与方差，考查学生分析解决问题的能力．