Question

（本小题满分12分）
设函数.
(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；
(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.

Answer 1

(1) (2).

解析试题分析：解：(1),.
法一：在恒成立在恒成立.…………………3分
由在的最小值为，
所以,得，即的最大值为. …………………………………………………6分
法二：令，.
要使在恒成立，则只需在恒成立.
由于的对称轴为,当时，，
解得，所以的最大值为.……………………………………………………6分
(2)因为当时, ；当时, ；当时,；
即在和单增，在单减.
所以，.………………………………9分
故当或时,方程仅有一个实根.
得或时，方程仅有一个实根.
所以.………………………………………………………………12分
考点：导数在研究函数中的运用
点评：根据导数不等式恒成立，来分析函数的最值来得到结论，同时对于方程根的问题，转化为图像与坐标轴的交点情况来说明即可，属于中档题。