Question

已知实数a≥，函数y=e^x-ax是区间[-ln3，0)上的增函数，设函数f(x)=ax³-x，，
(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式；
(Ⅱ)求证：当x＞0时，；
(Ⅲ)设，其中n∈N* ，问数列{a_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵函数y=e^x-ax是区间[-ln3，0)上的增函数，
∴在[-ln3，0)上恒成立，
∴在x∈[-ln3，0)上恒成立，
即，∴，
又∵a≥，
∴，
∴。
(Ⅱ)证明：当x＞0时，原不等式等价于，
两边取对数，即证：，
即证：，
设，即证，
事实上，设，
则，
∴在上单调递减，
∴，∴，
∴原不等式成立。
 (Ⅲ)解：∵，由(Ⅱ)可知，
，
令，由且n∈N*，得n≥4，
即n≥4时，，得，
∴，
又，
∴，且，
∴中只可能是与后面的项相等，
又，，
∴数列中存在唯一的两项相等。