Question

过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过点P和抛物线的对称轴平行的直线交准线于点M,求证:直线QM必过抛物线的顶点.

Answer 1

证明:以抛物线的对称轴为x轴,顶点为坐标原点建立直角坐标系,如图所示.

设抛物线方程为y²=2px(p＞0).

直线PQ方程为x=ky+.两方程联立并消去x得y²-2pky-p²=0.

设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),则y₁y₂=-p².

∵MP∥x轴,

∴M点坐标为(-,y₁),

则直线MQ的方程为y-y₁=(x+).

当x=0时,右边==-y₁.

当y=0时,左边=-y₁,∴左边=右边.

∴(0,0)满足方程.∴直线MQ必过抛物线的顶点.