题目内容
直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆
+
=1的公共点有
| x2 |
| 7 |
| y2 |
| 3 |
2
2
个．分析：根据直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．
解答：解：将直线mx+ny-3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得
（m2+n2）y2-6ny+9-3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．
又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．
由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜
，|m|＜
，
再由椭圆方程a=
，b=
可知P（m，n）在椭圆内部，
∴过点P的一条直线与椭圆
+
=1的公共点有2个．
故答案为2．
（m2+n2）y2-6ny+9-3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．
又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．
由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜
| 3 |
| 3 |
再由椭圆方程a=
| 7 |
| 3 |
∴过点P的一条直线与椭圆
| x2 |
| 7 |
| y2 |
| 3 |
故答案为2．
点评：考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，是中档题．
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