Question

过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于M，求证：MQ平行于抛物线的对称轴.

Answer 1

证明：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴建立直角坐标系，则抛物线方程为y²=2px(p＞0).

设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)、M(-,y₃),则k_OM=k_OP,得.

∴y₃=-·.

∵y₁²=2px₁,∴=.∴y₃=-·=.

设直线PQ的方程为y=k(x-),k≠0,则x=y+.

代入y²=2px中得ky²-2py-kp²=0,∴y₁y₂==-p².

∴y₃==y₂.∴直线MQ平行于抛物线的对称轴.