Question

若向量

a

=(1，2)，

b

=(-2，1)，k，t为正实数．且

x

=

a

+(t2+1) 

b

，

y

=-

1

k

a

 +

1

t

b

，
（1）若

x

⊥

y

，求k的最大值；
（2）是否存在k，t，使

x

∥

y

？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先根据向量的计算公式求出

X

，

Y

；
（1）直接代入向量垂直的结论：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0．即可求出k和t之间的关系，进而求出k的最大值；
（2）直接代入向量共线的结论：

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0．即可求出k和t之间的关系，再结合原题中k，t为正实数即可求出结论．

解答：解：由已知可得

x

=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），

y

=-

1

k

（1，2）+

1

t

（-2，1）
=（-

1

k

-

2

t

，-

2

k

+

1

t

）
（1）若

x

⊥

y

，则

x

•

y

=0，即（-2t²-1）（-

1

k

-

2

t

）+（t²+3）（-

2

k

+

1

t

）=0，
整理得，k=

t

t2+1

=

1

t+ 1 t

≤

1

2 t• 1 t

=

1

2

，（4分）
当且仅当t=

1

t

，即t=1时取等号，
∴k_max=

1

2

．（7分）
（2）假设存在正实数k，t，使

x

∥

y

，
则（-2t²-1）（-

2

k

+

1

t

）-（t²+3）（-

1

k

-

2

t

）=0．
化简得

t2+1

k

+

1

t

=0，即t³+t+k=0．（11分）
又∵k，t是正实数，故满足上式的k，t不存在，
∴不存在k，t，使

x

∥

y

．（14分）

点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系以及平行关系，考查计算能力．如果

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)则，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0；

a

∥

b

?x₁y₂-x₂y₁=0．