Question

设y=f（x）定义域R，对于给的正数k，定义函数fk(x)=

f(x)  f(x)≤k k   f(x)＞k

取函数f（x）=log₂|x|，当k=

1

2

时，函数f_k（x）的单调递增区间为

 

．

Answer 1

分析：由已知中设y=f（x）定义域R，对于给的正数k，定义函数fk(x)=

f(x)  f(x)≤k k   f(x)＞k

取函数f（x）=log₂|x|，当k=

1

2

时，我们易得到分段函数f_k（x）的解析式，再由复合函数的单调性，我们易分析出函数f_k（x）的单调性，进而得到答案．

解答：解：∵f（x）=log₂|x|，k=

1

2

，
若f（x）≤K，则x∈[-

2

，0）∪（0，

2

]
若f（x）＞K，则x∈（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）
∴fk(x)=

log2|x|，x∈[- 2 ，0)∪(0 2 ] 1 2 ，x∈(-∞，- 2 )∪( 2 ，+∞)

∵y=log₂u在其定义域为恒为增函数，
u=|x|在区间（-∞，0）为减函数，在（0，+∞）上为增函数
∴函数f_k（x）的单调递增区间为(0，

2

]
故答案为：(0，

2

]

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中根据已知条件，结合对数不等式的解法，求出分段函数f_k（x）的解析式，是解答本题的关键．