题目内容

设数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，对于任意正整数m，n， $数学公式$ 恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求证：数列{a_n}成等比数列．

解（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．
令m=1，得 $\text{[math]}$ ①
令m=2，得 $\text{[math]}$ ②
②÷①得： $\text{[math]}$ （n∈N^*）．记 $\text{[math]}$ ，
则数列{1+S_n} （n≥2，n∈N^*）是公比为q的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N^*）③．
n≥3时， $\text{[math]}$ ④．
③-④得， $\text{[math]}$ （n≥3，n∈N^*）．
在 $\text{[math]}$ 中，令m=n=1，得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
则1+S₂=2a₂，∴a₂=1+a₁．
∵a₁=1，∴a₂=2．
在 $\text{[math]}$ 中，令m=1，n=2，得 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ⑤
在 $\text{[math]}$ 中，令m=2，n=1，得 $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ ⑥．
由⑤，⑥，解得a₃=4，a₄=8．
则q=2，由 $\text{[math]}$ （n≥3，n∈N^*），
得： $\text{[math]}$
∵a₁=1，a₂=2也适合上式，∴ $\text{[math]}$ ．
（2）在 $\text{[math]}$ 中，令m=2，n=2，得 $\text{[math]}$
则1+S₄=2a₄，∴1+S₃=a₄．
在 $\text{[math]}$ 中，令m=1，n=2，得 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
则a₄=4a₂，∴ $\text{[math]}$ ．
代入 $\text{[math]}$ （n≥3，n∈N^*），
得 $\text{[math]}$ （n≥3，n∈N^*）．
由条件a₄=a₂（a₁+a₂+1），得a₁+a₂+1=4．
∵a₂=a₁+1，a₁=1，∴a₂=2．
则 $\text{[math]}$
∵a₁=1，a₂=2上式也成立，
∴ $\text{[math]}$ （n∈N*）．
故数列{a_n}成等比数列．
分析：（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列{1+S_n}是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到S_n的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a₂和S₂的关系式，然后把a₁代入即可求得a₂的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a₃，a₄的方程后可求解a₃，a₄则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q= $\text{[math]}$ =2．最后结合题目给出的条件，a₄=a₂（a₁+a₂+1）证出数列{a_n}成等比数列．
点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的综合，训练了学生的灵活变形能力和对繁杂问题的计算能力，属中高档题．