Question

（本小题满分14分）、
已知函数．
（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；
（Ⅱ）定义，其中且，求；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有．

Answer 1

．解：（Ⅰ）显然函数定义域为（0，1）. 设点M的坐标为（a, b），
则由
对于恒成立，于是解得 
所以存在定点，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上.             4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵  ……①
∴              ②
①+②，得，∴，故   8分
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，
于是等价于      0分
令，则，
∴当时，，即函数在上单调递增，又g(0)=0.
于是，当时，恒有，即恒成立.  …12分
故当时，有成立，取，
则有成立.            14分

略