Question

7．在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？

Answer 1

分析 （1）设矩形的两邻边长分别为x，y，易得x²+y²=d²，周长c=2（x+y），可得c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，开方可得答案；
（2）由（1）矩形面积S=xy=$\frac{1}{2}$•2xy≤$\frac{1}{2}$（x²+y²）=$\frac{{d}^{2}}{2}$，注意等号成立的条件即可．

解答 解：（1）设对角线有相同长度d，矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x²+y²=d²，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c²取到最大值8d²，周长取到最大值2$\sqrt{2}$d；
（2）由（1）矩形面积S=xy=$\frac{1}{2}$•2xy≤$\frac{1}{2}$（x²+y²）=$\frac{{d}^{2}}{2}$．
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值$\frac{{d}^{2}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及矩形的周长和面积，属中档题．