Question

12．已知在△ABC中，acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化边为角，可得2RsinAcosC+$\frac{1}{2}$2RsinC=2RsinB，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosA=$\frac{1}{2}$，进而求出∠A．
（2）利用正弦定理化边为角，可得l=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}（sinB+sinC）$，然后利用诱导公式将sinC转化为sin（A+B），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解．

解答 解：（1）∵acosC+$\frac{1}{2}$c=b，
由正弦定理得2RsinAcosC+$\frac{1}{2}$2RsinC=2RsinB，
即sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{\sqrt{3}}$，c=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}}$，
∴l=a+b+c
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinC）
=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sin（A+B））
=1+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）
=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，∴B$∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴B+$\frac{π}{6}$$∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$$∈（\frac{1}{2}，1]$，
故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．
（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，
由（1）及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=bc+1，
∴（b+c）²=1+3bc≤1+3（$\frac{b+c}{2}$）²，
解得b+c≤2，
又∵b+c＞a=1，
∴l=a+b+c＞2，
即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力．