Question

(本题满分14分) 　设函数．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在x=0处有极值，试求a的取值范围；

（Ⅲ）若对于任何上恒成立，求b的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）上是增函数，在区间上是减函数

（Ⅱ）满足条件的a的取值范围是

（Ⅲ）满足条件的b的取值范围是

【解析】解：（1），

当

令

当x变化时，的变化情况如下表：

 

 

x		0				0
	－	0	＋	0	－	0	＋
	单调 递减	极小值	单调 递增	极大值	单调 递减	极小值	单调 递增

所以上是增函数，

在区间上是减函数；…………………………（4分）

（2）不是方程的根，

处有极值。

则方程有两个相等的实根或无实根，

，

解此不等式，得

这时，f（0）=b是唯一极值，

因此满足条件的a的取值范围是；……………………（8分）

注：若未考虑，进而得到a的范围为，扣2分，

 

（3）由（2）知，当恒成立，

当x<0时，在区间上是减函数，

因此函数在［－1，0］上最大值是f（-1）， …………（10分）

又∵对任意的上恒成立，

∴，

于是上恒成立。

∴

因此满足条件的b的取值范围是．        …………………………（14分）