题目内容

定义在R上的偶函数R满足，x＞0时，f（x）=x+
4
x
．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减．
（1）当x＜0时，-x＞0，
因为x＞0时，f(x)=x+
4
x
，
所以 f(-x)=-x-
4
x
，
因为该函数是偶函数，所以f(x)=-x-
4
x
．
（2）任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
所以f(x1)-f(x2)=-x1-
4
x1
+x2+
4
x2
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
，
因为0＜x1＜x2＜2，
所以4＞x1x2＞0，x1-x2＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，2）上递减．
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相关题目
定义在R上的偶函数R满足，x＞0时，f（x）=x+
4x
．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=
(
1
e
)x+2，x≤-1
f(x-1)，-1＜x≤0
，若f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（　　）
已知下列四个命题：
（1）定义在R上的函数g（x），若满足g（2）=g（-2）且 g（-5）=g（5），则g（x）为偶函数；
（2）定义在R上的函数g（x）满足g（2）＞g（1），则函数g（x）在R上不是减函数；
（3）y=2x+1的图象可由y=2x的图象向上平移一个单位得到，也可由y=2x的图象向左平移一个单位得到；
（4）f（1-x）的图象可由f（x）的图象先向右平移一个单位，再将图象关于y轴对称得到．
其中，正确的命题序号为
（2）
（2）
．
定义在R上的偶函数R满足，x＞0时，f（x）=x．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减．

（本小题满分16分）

已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（1）设，若h (x)为偶函数，求；

（2）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

 

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