Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=

( 1 e )x+2，x≤-1 f(x-1)，-1＜x≤0

，若f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（　　）

• A．(-∞，

  1

  e

  -2)
• B．（-∞，-2]
• C．(-∞，

  1

  e

  -1]
• D．（-∞，-1]

Answer 1

分析：f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，分离出参数a后可转化为函数的最小值解决，分x≤-1；-1＜x≤0；x≥1；0≤x＜1几种情况进行讨论，构造函数，利用函数的单调性或导数可求得函数的最小值．

解答：解：①当x≤-1时，f （x）≥x+a即(

1

e

)x+2≥x+a，也即(

1

e

)x+2-x≥a，
而(

1

e

)x+2-x递减，所以(

1

e

)x+2-x的最小值为

1

e

+1，
此时，a≤

1

e

+1；
②当-1＜x≤0时，f （x）=f（x-1）=(

1

e

)x+1≥x+a，即为(

1

e

)x+1-x≥a，
而(

1

e

)x+1-x递减，所以(

1

e

)x+1-x的最小值为

1

e

，
此时，a≤

1

e

；
③当x≥1时，-x≤-1，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=(

1

e

)-x+2≥x+a，即(

1

e

)-x+2-x≥a，
令g（x）=(

1

e

)-x+2-x，g′（x）=e^x-2-1，
当1≤x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
所以x=2时g（x）取得最小值，此时，a≤g（2）=-1；
④当0≤x＜1时，-2＜-x-1≤-1，f（x）=f（-x）=f（-x-1）=(

1

e

)-x+1≥x+a，即(

1

e

)-x+1-x≥a，
令h（x）=(

1

e

)-x+1-x，h′（x）=e^x-1-1＜0，h（x）递减，
所以h（x）＞h（1）=0，此时a≤0；
综上，要使f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，a的取值范围为a≤-1，
故选D．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生运用知识分析解决问题的能力．