Question

f（x）=，g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，即g（x）的值域包含f（x）的值域，分别求值域，转化为集合的关系问题．
解答：解：设t=2-x，则t∈[1，2]，y=t+-16
∴y=t+-16在[1，2]上单调递减
∴-≤y≤-6
∴f（x）值域[-，-6]，
∵g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），∴g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
若0＜a≤，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a³-2a]；
若＜a＜1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[-2a，-2a³-2a]；
若a≥1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a]；
由条件，对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，
故只须g（x）的值域包含f（x）的值域
∴或或
∴
故答案为：
点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．