Question

已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

b

x

，g'（x）=2ax-1，利用曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，能求出实数a、b的值．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0，则F′(x)=

1

x

-2x+1=

-(2x+1)(x-1)

x

，由此推导出F（x）最大值为F（1）=0．从而能够证明f（x）≤g（x）．
（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e，知f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，令G（x）=blnx-x²，则G′(x)=

b-2x2

x

，由此能够推导出方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．

解答：解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
∴f′(x)=

b

x

，g'（x）=2ax-1．   …（2分）
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴

f(1)=bln1=0 g(1)=a-1=0 b=2a-1

，解得

a=1 b=1

．…（4分）
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0
则F′(x)=

1

x

-2x+1=

-(2x+1)(x-1)

x

，…（5分）
∴当x＞1时，y＜0；当-

1

2

＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜-

1

2

时，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）
∴F（x）最大值为F（1）=ln1-（1-1）=0．
∴F（x）=f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e
∴f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，则G′(x)=

b-2x2

x

，
由G′(x)=

b-2x2

x

=0，得x=±

b 2

，
∵x∈（1，e^b）且b＞2e，
∴

b 2

＞

e

＞1，e^b＞

b 2

，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜

b 2

，由G′（x）＜0，得

b 2

＜x＜eb，
∴G（x）在(1，

b 2

)上单调递增，在(

b 2

，eb)上单调递减
∴当x=

b 2

时，Gmax(x)=bln

b 2

-

b

2

=

b

2

ln

b

2

-

b

2

=

b

2

(ln

b

2

-1)，…（10分）
∵b＞2e，∴

b

2

＞e，∴ln

b

2

＞lne=1，∴G(

b 2

)＞0
又∵G（1）=-1＜0G（e^b）=blne^b-e^2b=b²-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0，
∴方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．…（12分）

点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查不等式恒成立的证明，考查方程的实根个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．