Question

已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）过坐标原点可以坐几条直线与曲线y＝f（x）相切？说明理由.

 

Answer 1

（1）f（x）在区间内单调递减，在内单调递增；（2）一条

【解析】试题分析：（1）求出导函数，利用导函数值的符号判定单调区间，注意对参数a的讨论；（2）设出切点，用参数表示出切线方程，再根据切线过原点，求出参数值，有几个不同的参数值，就有几条切线.

试题解析：（1）函数f（x）的定义域为（0,＋∞） 1分

由得 2分

，（舍去）. 1分

所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增. 2分

（2）设切点，则切线方程为 1分

因为过原点，所以，化简得（※）. 1分

设，则，

所以h（t）在区间（0,＋∞）内单调递增. 2分

又h（1）＝0，故方程（※）有唯一实根t＝1， 2分

从而满足条件的切线只有一条. 1分

考点：利用导数研究函数性质，导数的几何意义