Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上．  
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记bn=

n+1

4an

（n∈N^*），求数列{b_n} 的前n项和T_n
（3）由（2），是否存在最小的整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有3-2Tn＜

m

20

，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得 Sn=bⁿ+r，利用数列中a_n与 Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通项公式，再据定义求出r的值；
（2）由（1）求得b_n=

n+1

2n+1

，即可得到Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

再用错位相消法求Tn；
（3）对于任意的n∈N^*，均有3-2Tn＜

m

20

，只需

m

20

大于3-2Tn的最大值，利用数列的函数性质，求出3-2T_n的最大值，再去确定m的取值情况．

解答：解：（1）因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上
所以得   S_n=bⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r ）=（b-1）b ^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，∴公比为b，所以 

a2

a1

=

(b-1)b

b+r

=b，解得r=-1，首项a₁=b-1，
∴a_n=（b-1）b^n-1    
（2）当b=2时，a_n=2^n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

   
则 Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

    
两式相减，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

（3）若 3-2Tn＜

m

20

使得对于任意的n∈N^*，都成立
∴3-（3-

n+3

2n

）＜

m

20

，
即

n+3

2n

＜

m

20

对于任意的n∈N^*，都成立
又

(n+1)+3

2n+1

-

n+3

2n

=

-n-2

2n

＜0，
∴

n+3

2n

的最大值在n=1时取得，最大值为2，
∴

m

20

＞2，m＞40，所以存在这样的m=41符合题意．

点评：本题是函数与数列、不等式的综合．主要考查等比数列定义，及利用错位相消法来处理数列求和、恒成立问题．