Question

设函数，曲线在点（2，（2））处的切线方程为

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为一值，并求此定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）方程可化为，

当时，， 又

于是，解得。

故。

（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

       ，

即

令得，从而得切线与直线的交点坐标为。

令得，从而得切线与直线的交点坐标为。

所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此值为6。