Question

某公司生产某种电子仪器，每月的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增加投入100 元，已知月销售收入R（x） （单位：元）与月产量x （单位：台）的函数关系为R(x)=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000 ，x＞400.

（1）求月利润f（x） 与月产量x 的函数关系；
（2）当月产量为何值时，公司获得的月利润最大？最大月利润是多少？

Answer 1

分析：（1）月利润f（x）=月销售收入R（x）-生产仪器增加投入-固定成本；因R（x）是分段函数，故分别计算0≤x≤400，x＞400 时，f（x）的解析式；
（2）因为利润函数f（x）是分段函数，所以要分别在0≤x≤400，x＞400 时，计算f（x）的最大值，通过比较得出f（x）在其定义域上的最大值．

解答：解：（1）当0≤x≤400 时，f(x)=400x-

1

2

x2-20000-100x=-

1

2

x2+300x-20000；
当x＞400 时，f（x）=80000-20000-100x=-100x+60000；     
综上所述：f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -100x+60000     (x＞400)

．
（2）当0≤x≤400时，f(x)=-

1

2

(x-300)2+25000，
∴当x=300 时，f（x）_max=25000；                  
当x＞400 时，f（x）=-100x+60000 是减函数，
∴f（x）＜-100×400+60000=20000；
 综上所述，当x=300 时，f（x）_max=25000．
所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元．

点评：本题考查了分段函数模型的应用，当分段函数求最值时，要分别在每一区间上求出最值，通过比较得出整个定义域上的最值．