Question

12．定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0）时，f（x）=$\frac{1}{4^x}-\frac{a}{2^x}$（a∈R）．
（1）讨论f（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若f（x）是（0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（x）在（0，1]上的解析式，令t=2^x（t∈（1，2]），可得g（t）为二次函数，求得对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最大值；
（2）由（1）中的g（t），可得g（t）在（1，2]上递增，即有$\frac{a}{2}$≥2，即可得到a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，f（x）=$\frac{1}{4^x}-\frac{a}{2^x}$（a∈R），
设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
∴f（-x）=$\frac{1}{{4}^{-x}}$-$\frac{a}{{2}^{-x}}$=4^x-a•2^x，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=a•2^x-4^x，x∈（0，1]；
令t=2^x（t∈（1，2]），即有g（t）=at-t²=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当$\frac{a}{2}$≤1即a≤2时，区间（1，2]为减区间，g（t）无最大值；
当1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4时，可得g（t）的最大值为g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当$\frac{a}{2}$≥2即a≥4时，区间（1，2]为增区间，g（t）的最大值为g（2）=2a-4．
综上可得，a≤2时，f（x）无最大值；当2＜a＜4时，f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当a≥4时，f（x）的最大值为2a-4；
（2）f（x）=a•2^x-4^x，x∈（0，1]；
令t=2^x（t∈（1，2]），即有g（t）=at-t²=-（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（x）是（0，1]上的增函数，即g（t）在（1，2]上递增，
即有$\frac{a}{2}$≥2，解得a≥4．
则实数a的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查函数的单调性的运用：求最值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．