题目内容
如图，在半径为R、圆心角为| π | 3 |
（1）试写出用θ表示长方形EPQF的面积S（θ）的函数．
（2）现用EP和FQ作为母线并焊接起来，将长方形EFPQ制成圆柱的侧面，能否从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面？如果不能请说明理由．如果可能，求出侧面积最大时容器的体积．
分析：（1）求长方形EPQF的面积，在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ；易得PC，OC；从而求得EF，EP；
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时θ=
；
当θ=
时，求出圆柱体的体积即可．
（2）制成圆柱的底面周长为EF，半径可求，△OEF的内切圆半径可求，两半径比较得出结论．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面面积为 S（θ），由三角函数的运算与性质，可以求出最大值，此时θ=
| π |
| 12 |
当θ=
| π |
| 12 |
解答：解：如图，（1）在长方形EPQF中，EF=PQ=2PC=2Rsinθ，
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•
=Rcosθ-
Rsinθ；
所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-
Rsinθ）．
（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r底=
，
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r内=
Rsinθ，而
Rsinθ＞
，即r内＞r底；
所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
S（θ）=2R2sinθcosθ-2
R2sin2θ
=R2•sin2θ-
•R2•（1-cos2θ）
=R2•（sin2θ+
cos2θ）-
R2
=R2•2sin(2θ+
)-
R2，(0＜θ＜
)；
当2θ+
=
，即θ=
时，侧面积S（θ）取得最大值，
此时圆柱的体积为：V=S底•h=π•(
)2•(R•cosθ-
R•sinθ )
=
•sinθ2•(cosθ-
sinθ)=
•
•2cos(θ+
)
=
•
•2cos
=
•
•2•
=
．
EP=Rcosθ-EF•sin60°=Rcosθ-2Rsinθ•
| ||
| 2 |
| 3 |
所以长方形EPQF的面积为：S（θ）=EF•EP=2Rsinθ（Rcosθ-
| 3 |
（2）依题意制成圆柱的底面周长l=EF=2Rsinθ，则其半径为r底=
| Rsinθ |
| π |
在△OEF中，EF=OE=OF=2Rsinθ，
故内切圆半径r内=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| Rsinθ |
| π |
所以能从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱形容器的底面．
由长方形EPQF制成圆柱的侧面，面积为；
S（θ）=2R2sinθcosθ-2
| 3 |
=R2•sin2θ-
| 3 |
=R2•（sin2θ+
| 3 |
| 3 |
=R2•2sin(2θ+
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
当2θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
此时圆柱的体积为：V=S底•h=π•(
| Rsinθ |
| π |
| 3 |
=
| R3 |
| π |
| 3 |
| R3 |
| π |
| 1-cos2θ |
| 2 |
| π |
| 3 |
=
| R3 |
| π |
1-cos
| ||
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| R3 |
| π |
1-
| ||||
| 2 |
| ||||
| 4 |
(3
| ||||
| 8π |
点评：本题用柱体的侧面积和体积作为载体，重点考查了三角函数的运算与性质，求侧面积 S（θ）的最大值和柱体的体积时，考查了两角和与差的运算，且运算量较大，是易错题．
练习册系列答案
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| n→∞ |
| A、2πr2 | ||
B、
| ||
| C、4πr2 | ||
| D、6πr2 |
如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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为前n个圆的面积之和，则
B．
为前n 
B.
C.
D.