题目内容
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°角，AA1=2，底面ABC是边长为2的三角形，G为三角形ABC内一点，E是线段BC1上一点，且| BE |
| 1 |
| 3 |
| BC1 |
| GE |
| 1 |
| 3 |
| AB1 |
（1）请判断点G在三角形ABC内的位置；
（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的大小．
分析：（1）先取AB中点O，根据∠A1AB=60°以及AA1=AB=2，得到AO⊥底面ABC；再O为原点建立空间直角坐标系求出各点的坐标；结合
=
求出点E的坐标，再结合
=
求出点G的坐标，即可得到结论．
（2）先根据条件求出两个平面的法向量，再直接代入向量夹角的计算公式即可求出结论．
| BE |
| 1 |
| 3 |
| BC1 |
| GE |
| 1 |
| 3 |
| AB1 |
（2）先根据条件求出两个平面的法向量，再直接代入向量夹角的计算公式即可求出结论．
解答：解：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600角
∴∠A1AB=60°；
又AA1=AB=2，取AB中点O，则AO⊥底面ABC，…（1分）
以O为原点建立空间直角坐标系：
则A1（0，0，
），B1（0，2，
），C1（
，1，
）
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（
，0，0）
设G（x，y，0）
∵
=
，∴E（
，1，
）．
又∵
=
，
=（0，3，
），
=（
-x，1-y，
）．
∴G（
，0，0）．
所以：G为中心．…（6分）
（2）设平面B1GE的法向量为
=（x，y，z），则由
•
=0及
•
=0．
∴
得
=（
，-1，
）．，…（8分）
又底面ABC的法向量为
=（0，0，1），设平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为θ
所以：cosθ=
=
，
故θ=arccos
．
∴平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为arccos
…（12分）
解：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600角∴∠A1AB=60°；
又AA1=AB=2，取AB中点O，则AO⊥底面ABC，…（1分）
以O为原点建立空间直角坐标系：
则A1（0，0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（
| 3 |
设G（x，y，0）
∵
| BE |
| 1 |
| 3 |
| BC 1 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
又∵
| GE |
| 1 |
| 3 |
| AB 1 |
| AB 1 |
| 3 |
| GE |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴G（
| ||
| 3 |
所以：G为中心．…（6分）
（2）设平面B1GE的法向量为
| n |
| n |
| B 1E |
| n |
| GE |
∴
|
| n |
| 3 |
| 3 |
又底面ABC的法向量为
| m |
所以：cosθ=
|
| ||||
|
|
| ||
| 7 |
故θ=arccos
| ||
| 7 |
∴平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的大小为arccos
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查了点的位置的判定，以及二面角的度量等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题，本题解题的关键是找出二面角的平面角对应的法向量．
练习册系列答案
相关题目
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F分别是AB1，BC的中点． 
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在（ ）
（2007•武汉模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA1与底面成60°的角，D为AC的中点．
（2008•武汉模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，则侧面A'ACC'⊥侧面ABC，又AA'和底面所成60°的角，且AA'=2a，AB=BC=