题目内容
【题目】如图，已知多面体
中，
、
均为正三角形，平面
平面
，
，
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求该多面体的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题（1）通过解三角形以及勾股定理得
. 取
的中点
，则
再由面面垂直性质定理得
平面
，即得
，取
的中点
，根据平行四边形性质得
，即
，最后根据线面垂直判定定理得
平面
；（2）通过割补法将多面体转化为一个三棱柱，再由面面垂直性质定理得平面，利用补形法得一个四棱柱体积的一半，最后代入柱体体积公式求体积.
试题解析：解：（Ⅰ）因为
，所以
，
为正三角形，所以
.
设
，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理，得
，
所以
，所以.
取的中点，连接
，因为
为正三角形，所以
，
因为平面
平面，所以平面.
取的中点，连接
，
，则
，且
，所以四边形
为平行四边形，
所以，所以
平面，所以.
因为
，所以平面.
（Ⅱ）过作直线
，延长
与
交于点
，与
交于点
，连接
，
.
因为为的中点，所以
且
，所以四边形
为平行四边形，所以
.
同理
，所以
.
又，所以
，所以
，所以多面体
为三棱柱.
过作
于
点，因为平面平面，所以
平面
，
所以线段
的长即三棱柱的高，在
中，
，
所以三棱柱的体积为
.
因为三棱锥
与
的体积相等，所以所求多面体的体积为
.
练习册系列答案
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取到的红球数 | 0 | 1 | 2 |
奖励（单位：元） | 5 | 10 | 50 |
现有两种取球规则的方案：
方案一：一次性随机取出2个球；
方案二：依次有放回取出2个球.
（Ⅰ）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；
（Ⅱ）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司的负责，你会选择哪种方案？请说明理由.
