Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，A₁A=2
（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在线段BC₁是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接AD₁，根据正方体的几何特征可得四边形ABC₁D₁是平行四边形，进而根据E，F分别是AD，DD₁的中点，由三角形中位线定理可得AD₁∥EF，最后由线面平行的判定定理得到EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，推出A₁P⊥C₁D，证明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求线段A₁P的长．
解答：证明：（Ⅰ）连接AD₁，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
，则四边形ABC₁D₁是平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，
又∵E，F分别是AD，DD₁的中点
∴AD₁∥EF，
∴EF∥BC₁，又EF?面A₁BC₁，BC₁?面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁（3分）
解：（II）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．（7分）
因为A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴=，∴C1Q=
又∵PQ∥BC，
∴PQ=BC=1．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D1Q=，
∴A1P==．（14分）
点评：本题考查空间几何体中直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．