Question

设{a_n}为等比数列,T_n=na₁+(n-1)a₂+…+2a_n-1+a_n,已知T₁=1,T₂=4.

(1)求数列{a_n}的首项和公比；

(2)求数列{T_n}的通项公式.

Answer 1

解析:(1)设等比数列{a_n}的公比为q,则T₁=a₁,

T₂=2a₁+a₂=a₁(2+q).

∵T₁=1,T₂=4,

∴a₁=1,q=2.

(2)由(1)知a₁=1,q=2,故a_n=2^n-1.

因此T_n=n·1+(n-1)·2+…+2·2^n-2+1·2^n-1.

所以T_n=2T_n-T_n=n·2+(n-1)·2²+…+2·2^n-1+1·2ⁿ-［n·1+(n-1)·2+…+2·2^n-2+1·2^n-1］

=-n+2+2²+…+2^n-1+2ⁿ=-n+=-n+2ⁿ⁺¹-2=-(n+2)+2ⁿ⁺¹.