Question

设{a_n}为等比数列，且其满足：S_n=2ⁿ+a．
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的通项公式为bn=-

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）n=1时，求出a₁，n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列{b_n}的通项公式为bn=-

n

an

可知数列{b_n}的前n项和T_n可利用错位相减法进行求解．

解答：解：（1）n=1时，a₁=2+an≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1
∵{a_n}为等比数列∴a₁=2+a=2^1-1=1∴a=-1
∴{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（6分）
（2）bn=-

n

an

=-

n

2n-1

Tn=-(1•1+2•

1

2

+3•

1

22

+…n•

1

2n-1

)  ①

1

2

Tn=-[  1•

1

2

+2•

1

22

+…(n-1)

1

2n-1

+n•

1

2n

]②
②-①得-

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n•

1

2n

∴Tn=

n+2

2n-1

-4（14分）

点评：本题主要考查了数列的通项，以及利用错位相减法进行求和，同时考查了计算能力，属于中档题．