Question

设圆x²+y²=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为

 

．

Answer 1

分析：如图的所示：AB=BD+AD，所以要分别求解，先设切点为D，∠OAB=α(0＜α＜

π

2

)，连接OD，有OD⊥AB，从而AD=

1

tanα

=

cosα

sinα

，BD=

1

tan( π 2 -α)

=

sinα

cosα

，建立线段AB长的模型为：AB=

cosα

sinα

+

sinα

cosα

=

1

sinαcosα

=

2

sin2α

，再由三角函数的最值求解．

解答：解：设切点为D，∠OAB=α(0＜α＜

π

2

)，则连接OD知OD⊥AB，
从而得到AD=

1

tanα

=

cosα

sinα

，BD=

1

tan( π 2 -α)

=

sinα

cosα

，
∴线段AB=

cosα

sinα

+

sinα

cosα

=

1

sinαcosα

=

2

sin2α

(0＜α＜

π

2

)，
∵sin2α∈（0.1]
∴线段AB长度的最小值为2．
故答案为：2

点评：本题主要通过直线与圆的位置关系，考查学生建立三角函数模型的能力和解决模型的能力．