Question

设圆x²+y²=1的切线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的为

x+y-

2

=0

．

Answer 1

分析：设出A与B的坐标，根据题意表示出切线l的截距式方程，并利用两点间的距离公式表示出|AB|，由圆的标准方程找出圆心坐标及半径r，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到

1

a2

+

1

b2

=1，可将|AB|²表示为（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

），去括号化简后根据基本不等式可得出|AB|取得最小值时a与b的值，即可确定出此时切线l的方程．

解答：解：设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
则切线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b2

，
由圆的方程x²+y²=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∴圆心到切线l的距离d=r，即

1

( 1 a )2+( 1 b )2

=1，
变形得：

1

a2

+

1

b2

=1，
则|AB|²=（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥4，
当且仅当a=b=

2

时，上式取等号，故|AB|_min=2，
此时切线l的方程为x+y-

2

=0．
故答案为：x+y-

2

=0

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：直线的截距式方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．