Question

14．若点D为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右顶点，点A，P在椭圆上关于坐标原点对称，直线AD，PD交直线x=3于E，F两点，则以EF为直径的圆是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 直线AP的方程为x=ty代入椭圆方程，求出E、F的坐标，求出以线段EF为直径的圆的方程，令y=0即得结论．

解答 解：结论：以EF为直径的圆过定点（$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
理由如下：
设直线AP的方程为：x=ty，A（a，b），P（-a，-b），
直线AP的方程代入椭圆方程可得：（2+t²）y²-4=0，
∴-b²=$\frac{-4}{2+{t}^{2}}$，即${b}^{2}=\frac{4}{2+{t}^{2}}$，
∴a²=t²b²=$\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，∴ab=$\frac{4t}{2+{t}^{2}}$，
∵直线PD的方程为：$y=\frac{b}{a-2}（x-2）$，∴E（3，$\frac{b}{a-2}$），
同理可得F（3，$\frac{b}{a+2}$），
∴以线段EF为直径的圆的方程为：$（x-3）（x-3）+（y-\frac{b}{a-2}）（y-\frac{b}{a+2}）=0$，
∴（x-3）²+y²-$（\frac{b}{a-2}+\frac{b}{a+2}）y$+$\frac{b}{a-2}•\frac{b}{a+2}$=0，
∵$\frac{b}{a-2}$+$\frac{b}{a+2}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-4}$=$\frac{2×\frac{4t}{2+{t}^{2}}}{\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}-4}$=-t，
$\frac{b}{a-2}•\frac{b}{a+2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-4}$=$\frac{\frac{4}{2+{t}^{2}}}{\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}-4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴以线段EF为直径的圆的方程为：（x-3）²+ty-$\frac{1}{2}$=0，
令y=0，即$（x-3）^{2}=\frac{1}{2}$，解得x=$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴以EF为直径的圆过定点（$3±\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，综合性强，属于难题．