Question

如图，设边长为1的正方形纸片，以A为圆心，AE=a（0＜a≤1）为半径画圆弧EF，裁剪的扇形AEF围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径r=

 

．

Answer 1

分析：根据题意，在正方形余下部分裁剪出圆锥底面，当底面圆与BC、CD和弧EF都相切时圆锥的侧面积可达最大值．由此利用直线与圆、圆与圆的位置关系，算出底面圆半径r满足

2

=a+（1+

2

）r，化简可得围成的圆锥侧面积关于r的二次函数表达式．由扇形与圆M能围成圆锥解出0＜r≤

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，利用二次函数的单调性加以计算，可得当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径r的值．

解答：解：根据题意，欲在正方形ABCD内且在扇形AEF外的余下部分裁剪出圆锥的底面，
则圆锥的底面圆与BC、CD和弧EF都相切，设此时圆的圆心为M，与BC边相切于点N．
设圆锥底面圆的半径是r，由两圆外切的性质可得AM=a+r，
又∵Rt△CMN中，∠NCM=45°，
∴CM=

2

CN=

2

r，可得AC=AM+CM=a+（1+

2

）r．
∵AC为边长为1的正方形的对角线，得AC=

2

，
∴

2

=a+（1+

2

）r，
可得a=

2

-（1+

2

）r…（*）
又∵若要能使扇形AEF与圆M围成圆锥，则必须弧EF长大于或等于圆M的周长，
∴

π

2

a≥2πr，即a≥4r，代入（*）可得（5+

2

）r≤

2

，
解得0＜r≤

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．
∵围成的圆锥母线为a，底面圆半径为r，
∴围成圆锥的侧面积S_侧=πar=πr[

2

-（1+

2

）r]，
可得S_侧为关于r的二次函数，在区间（0，

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]上为关于r的增函数，
∴当r=

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时，S_侧有最大值．
综上所述，可得圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径r=

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．
故答案为：

5 2 -2

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点评：本题将一个边长为1有正方形裁剪，再围成一个圆锥，求圆锥的侧面积最大时的半径长．着重考查了圆锥的侧面积公式、直线与圆和圆与圆的位置关系、二次函数的单调性及其应用等知识，属于中档题．