Question

16．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}-x+1}$；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$；
（4）y=$\frac{sinx}{2-sinx}$．

Answer 1

分析 （1）原函数变成$y=1-\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，能够得到${x}^{2}-x+1≥\frac{3}{4}$，从而可求出$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的范围，从而得到原函数的值域；
（2）求导数，并能判断y′＞0，从而原函数在（-∞，$\frac{1}{2}$]上单调递增，设y=f（x），从而有f（x）$≤f（\frac{1}{2}）$，这样即可得出该函数的值域；
（3）讨论x=0，x＞0，x＜0：x=0时能得到y=0，而对于x＞0，和x＜0，原函数变成$y=\frac{3}{x+\frac{4}{x}}$，利用基本不等式即可得出原函数的值域；
（4）原函数变成$y=-1+\frac{2}{2-sinx}$，由-1≤sinx≤1便可求出2-sinx的范围，然后再求出$\frac{1}{2-sinx}$的范围，从而得出原函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{{x}^{2}-x+1-1}{{x}^{2}-x+1}=1-\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$；
${x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{4}{3}$；
∴$-\frac{1}{3}≤y＜1$；
∴原函数的值域为：$[-\frac{1}{3}，1）$；
（2）$y′=1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}＞0$；
∴原函数在（$-∞，\frac{1}{2}$]上单调递增；
设y=f（x），则：f（x）$≤f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为：$（-∞，\frac{1}{2}]$；
（3）①若x=0，y=0；
②若x≠0，则y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}=\frac{3}{x+\frac{4}{x}}$；
∴1）x＞0时，$x+\frac{4}{x}≥4$，当x=$\frac{4}{x}$，即x=2时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{4}{x}}≤\frac{1}{4}$；
∴$0＜y≤\frac{3}{4}$；
2）x＜0时，x$+\frac{4}{x}=-[（-x）+\frac{4}{-x}]≤-4$，当x=-2时取“=”；
∴$-\frac{1}{4}≤\frac{1}{x+\frac{4}{x}}＜0$；
∴$-\frac{3}{4}≤y＜0$；
综上得，原函数的值域为：$[-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}]$；
（4）$y=\frac{sinx}{2-sinx}=\frac{-（2-sinx）+2}{2-sinx}=-1+\frac{2}{2-sinx}$；
-1≤sinx≤1；
∴1≤2-sinx≤3；
∴$\frac{1}{3}≤\frac{1}{2-sinx}≤1$；
∴$-\frac{1}{3}≤y≤1$；
∴原函数的值域为：$[-\frac{1}{3}，1]$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法求函数的值域，配方求二次函数的值域，以及根据导数符号判断函数的单调性，根据单调性求函数的值域，以及不等式的性质．