Question

【题目】设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.

（1）若，求此时直线的方程；

（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；

（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．

（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；

（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．

（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，

则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②

∵2，

∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，

由①②③可得m2，∴,

∴直线方程为x＝y+1，即．

（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,

同理可得Q（，﹣）．

m时，直线PQ的斜率kPQ，

直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），

m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．

综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．

（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），

F（1，0），准线为 x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，

设直线TS与x轴交点为N，

∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，

∵的面积是△TSF的面积的两倍，

∴|FN|＝，∴|FN|=1,

∴xN＝2，即N（2，0）．

设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），

又，

∴，即y2＝2x﹣4．

∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．