Question

（本题满分12分）

如图，四边形是边长为2的正方形，为等腰三角形，，平面⊥平面，点在上，且平面．

（Ⅰ）判断直线与平面是否垂直，并说明理由；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

 

Answer 1

【答案】

 

、证明：（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                   

因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE.

       

于是AE⊥平面BCE.                ……6分  

（Ⅱ）方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，

所以点D与点B到平面ACE的距离相等.

因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. 

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因为AB＝2，所以BE＝.                       

在Rt△CBE中，.             

所以.

故点D到平面ACE的距离是.             ……12分

方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB＝2，所以EG＝１.     

因为AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，. 

设点D到平面ACE的距离为ｈ，因为ＶＤ－ACE＝VE－ACD，则.

所以，故点D到平面ACE的距离是. 12分

 

【解析】略