Question

已知sinα+cosα=-

1

5

，且π＜α＜2π，求tanα．

Answer 1

分析：把已知的等式两边平方，左边利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的平方关系化简，得出2sinαcosα的值，再利用差的完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简（sinα-cosα）²后，将2sinαcosα的值代入求出（sinα-cosα）²的值，根据sinα+cosα小于0且α的范围，得出α的具体范围，进而得到sinα-cosα小于0，开方求出sinα-cosα的值，与sinα+cosα的值联立即可求出sinα和cosα的值，最后利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可求出tanα的值．

解答：解：∵sinα+cosα=-

1

5

①，
∴（sinα+cosα）²=

1

25

，
即1+2sinαcosα=

1

25

，
解得：2sinαcosα=-

24

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
又π＜α＜2π，∴

5π

4

＜α+

π

4

＜

9π

4

，
且sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=-

1

5

，即sin（α+

π

4

）=-

2

10

＜0，
∴

5π

4

＜α＜

7π

4

，∴cosα＞sinα，
开方得：sinα-cosα=-

7

5

②，
联立①②解得：sinα=-

4

5

，cosα=

3

5

，
则tanα=-

4

3

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．