Question

设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点.

（1）       确定实数的取值范围，并求直线的方程；

（2）       试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.

Answer 1

（1）解法一：设直线的方程为，代入     

整理得      ①

设，，② 且

由是线段的中点，得，解得，代入②得

所以直线的方程为，即                 （5分）

解法二：设，（点差）则有，因为是线段的中点，

又在椭圆内部，，即，所以直线的方程为，即

（2）解法一：因为垂直平分，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得

设，的中点，且，即，由弦长公式得③，将直线的方程代入椭圆方程得④，同理可得⑤              （9分）

因为当时，，所以

假设存在，使四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心。点到直线的距离⑥，

于是，

故当时，在以为圆心，为半径的圆上            （12分）